Ciao,
il DB occupa spazio del tuo hosting, come il codice, le immagini, etc...
I problemi insormontabili che incontri, possono essere di due tipi: o il tuo provider ha settato un limite alla dimensione dei file scaricabili (il dump del db diventa comunque un file che viene scaricato), oppure lo scaricamento è troppo lungo e va in timeout.
Hai provato, quando fai un dump del database, a salvarlo in una cartella FTP, sul server, e poi scaricarlo via PTP?