Non sono un esperto di php ma a occhio direi che forse è sbagliata la sintassi del codice, ma non ne sono sicuro.
Sicuramente manca il ; alla fine del codice php e poi forse dovresti sostituire l'apice doppia con quella singola. Fai delle prove e vedi cosa succede e fammi sapere.
Prova così:
<input type="hidden" .... value=<?php echo $_POST['chiave']; ?> .. >