Semplicemente, uno dei parametri di configurazione dell'accesso al database è errato o, nel caso tu stia utilizzando un MySQL remoto, non è stato correttamente assegnato il diritto d'accesso alla macchina su cui risiede il Joomla.
Se sei su un hosting condiviso controlla in particolare il nome del database, che spesso è preceduto da un prefisso che ti identifica.
Per ragioni di sicurezza, ti sconsiglio di utilizzare l'utente amministrativo del MySQL; crea piuttosto un utente con pieni diritti di accesso al solo DB del Joomla.
I passi da compiere, almeno sul mio hosting, sono i seguenti:
1) Creo il DB del Joomla
2) Creo un utente e lo assegno al DB Joomla
3) Assegno tutti i diritti a questo utente SOLO per questo DB
4) Installo Joomla dando come nome del DB e nome utente quelli da me appena creati
5) Scelgo di non salvare il vecchio contenuto del DB