Mi pare, da quello che dici, che sia un problema di configurazione del server su cui sei ospitato.
Oltre ai permessi (chmod) su files e cartelle c'è da tenere presente l'ownership (proprietà - appartenenza) di files e cartelle.
Verifica mediante il tuo client ftp se la proprietà di files e cartelle sia uguale per tutte le cartelle o se noti delle differenze di proprietà (ownership). In alcuni casi i files e le cartelle creati attraverso joomla non appartengono allo stesso gruppo e proprietario dei files e delle cartelle create attraverso il client ftp. E tale differenza genera il tipo di problemi che stai riscontrando.
In merito poi al discorso che non risultano scrivibili la cartella tmp e la cartella logs verifica che il path sia corretto. La cartella tmp è fondamentale nell'installazione delle estensioni e deve essere scrivibile.
Per verificare il path fai in questo modo:
Apri un nuovo file con un editor di testo ed inserisci al suo interno la seguente stringa di codice
<?php
$p = getcwd();
echo $p;
?>
poi salvi il file come path.php e lo carichi sul server.
Una volta caricato via browser lo richiami:
www.nomesito.com/path.phpQuello che vedrai a schermo è il path corretto. Se differisce dal path della cartella tmp e logs del tuo configuration.php allora fai le dovute correzioni e dovresti risolvere.