Grazie danielecr, mi hai dato l'input giusto.
Intanto mi sono accorto di non avere il plugin aggiornato all'ultima versione, perché non avevo l'impostazione di "failure response".
Dopo averlo aggiornato, ho settato "Home page" in failure response in tutti i siti, e finalmente il comportamento dopo logout da Amministrazione è lo stesso per tutti.