non ho ben capito, ma provo a darti una risposta.
Se il problema sta nel fatto che vengono posti due // alla fine del
www.miosito.it, allora il problema sta nel configuration.php. Sia il live site, sia l'absolute path devono terminare denza alcuno slash iniziale.
Se, invece, tu indichi un indirizzo web e questo ti viene "modificato", prova dando l'indirizzo comlpleto (partendo da http://) perché in assenza di http, joomla ritiene che si tratti di indirizzo relativo.
Se nessuna delle due ipotesi ... non ho capito la domanda
