phpMyAdmin (o simili) è un servizio già presente.
Dovrebbero averti indicato un pannello di controllo a cui accedi a phpmyadmin e agli altri servizi di cui disponi.
Si, devi esportare il database (dump del database). Ti verrà fuori un file con estensione sql (oppure zip, a seconda se scegli la compressione oppure no).
Si, anche i file con filezilla.
Un consiglio: poi questi file tienili nel tuo computer così hai una copia di bakcup. Poi periodicamente fai altre copie di backup (cioè ti scarichi file e database).
Edit: francesco mi ha anticipato.